V první kapitole tohoto miniseriálu jsme si uvedli jako příklad nejjednodušší a zároveň nejpoužívanější obchodní strategie spořící účet. Zároveň jsme si vysvětlili, že pokud uvažujete o uložení svých miliónů na spořící účet a trpíte představou, že byste z úroků mohli žít, banka vás z těchto představ vyléčí - prakticky nelze najít spořící účet s dostatečným úrokem.

Jako mnohem výnosnější příklad jsme si uvedli například podnikaní, trading nebo sázení. U těchto aktivit je zase jiná nevýhoda - prostředí je nejisté a vy nikdy nevíte, jestli vaše investice něco vydělá, nebo o vaši investici kompletně přijdete. Strategie "vsadím vše", tak výhodná u spořícího účtu, vede v nejistém prostředí vždy k bankrotu. Cílem je tedy najít míru, která by nám předem řekla, kolik vsadit, abychom na jedné straně maximalizovali zisk a na straně druhé zamezili bankrotu.

Co se děje ve hře z předchozí kapitoly a jak v ní vydělat

V prostředí, kde můžete kdykoliv a zcela bez varování přijít o veškerý svůj vklad, nelze vsadit vše. Několikrát vám to sice může vyjít, ale nakonec se vždy objeví ztráta, která vás zcela vyřadí ze hry. Jestli jste zkoušeli hrát hru v předchozí kapitole, pravděpodobně jste již zjistili, že zůstat v zisku není tak jednoduché. Pojďme se podívat, jak se výsledky liší při různé výši sázek (ve všech sto pokusech jsme vždy sázeli stejné procento):

Graf je vytvořený jednoduchým skriptem, který hrál vždy stovku her o sto pokusech postupně se sázkou 1, 2, 3... 30% z účtu a zaznamenával výsledky. Na vodorovné ose je vsazená částka (vyjádřená v procentech z účtu). Spojitá červená čára označuje úspěšnost - říká nám, kolik her ze sta skončilo ziskem. Zelené sloupce označují průměrný zisk. Ten je vyjádřený pouze graficky, v nějaké poměrové míře (největší dosažený zisk odpovídá sto procentům) aby bylo vidět, kdy vydělala hra více a kdy méně.

Co můžeme z grafu přečíst? Při sázce pouhé jedno procento jsme sice skončili vždy v zisku, ten byl ale pouhých 15% oproti zisku, dosaženému při vsazených deseti procentech. S tím, jak vsazené procento stoupá, stoupá i vydělaná částka, až při deseti procentech dosáhne zisk maxima. Při dalším zvyšování sázek začíná velmi rapidně vzrůstat i počet případů, které končí bankrotem - už při čtrnácti procentech skončí jedna pětina všech pokusů nulou. Při investici nad 21% skončí kompletním vymazáním účtu už prakticky všechny pokusy o zhodnocení počátečního vkladu.

Graf je kompletně vygenerovaný pomocí náhodných čísel. Pokusů bylo poměrně málo (chcete-li, zkuste potrápit svůj počítač sami), takže jsou výsledky velmi rozkolísané. Při vyšším počtu opakování ale dostane vždy velmi podobné výsledky - budete-li zvyšovat svou sázku, bude vydělaná suma růst, přičemž riziko bankrotu bude minimální. Při sázce kolem deseti procent bude zisk maximální a při dalším zvyšování půjde zisk opět dolů. Zároveň se s vyšší vsazenou částku bude rapidně zvyšovat pravděpodobnost bankrotu, přičemž od jisté meze bude bankrot prakticky nevyhnutelný a velice rychlý.

Kellyho rovnice

Na optimální vsazenou částku jsme přišli pokusem, který nám ukázal silnou závislost zisku a pravděpodobnost bankrotu na vsazené částce. Proto, abychom zjistili optimální sázku, ale nemusíme postupovat metodou pokus-omyl. Můžeme využít Kellyho formuli.

Kellyho formule je poměrně jednoduchý nástroj, který nám na základě předchozích obchodů nebo testů může říci, kolik je potřeba vsadit v dalším obchodě. Zároveň může sloužit jako jednoduché měřítko pro porovnávání jednotlivých obchodních strategií - každý obchodní postup je o to kvalitnější a výnosnější, čím je výsledek Kellyho rovnice vyšší.

Ve svém nejjednodušším vyjádření se počítá Kellyho formule takto:

K% = %vítězných - (1 - %vítězných) / (průměrný zisk / průměrná ztráta)

Rovnici lze vyjádřit i jinými způsoby, z nichž některé si uvedeme v další kapitole. Tento zápis nám momentálně vyhovuje pro určení optimální sázky ve hře, kterou jsme si ukázali v předchozí kapitole.

Odpověď na naši otázku, kolik vsadit v naší hře, nám ukáže právě Kellyho rovnice. Spočtěme si Kellyho kriterium pro naši hru:

%vítězných      = 0.55  (procenta vyjadřujeme jako část celku)
průměrná ztráta = 1     (ztratíme vždy celý vklad)
průměrný zisk   = 1     (získáme vždy tolik, kolik jsme vsadili)

K% = 0.55 - (1 - 0.55) / (1/1) 
K% = 0.1                (vyjádřeno jako část celku)
K% = 10%                (vyjádřeno jako procento)

Omezení Kellyho formule

Teoreticky funguje Kellyho formule dobře, ale prakticky lze snadno narazit na určitá omezení, díky kterým může být obchodování podle Kellyho kriteria na reálném trhu velice nebezpečné.

Prvním, velmi omezujícím faktorem, je počet obchodů. Rovnice funguje uspokojivě pouze při velkém počtu obchodů a pouze za cenu obrovských výkyvů výšky kapitálu. Pro reálného tradera může být psychicky zcela likvidační, pokud jeho pečlivě navržená a prováděná strategie určená na vydělávání peněz nejenže nic nevydělává, ale dokonce jej připraví o naprostou většinu jeho účtu. V některých případech může být traderův život příliš krátký na to, aby Kellyho rovnice zafungovala a vrátila obchodníkovi, oč jej mohutný pokles (drawdown) připravil.

Druhým faktorem je neustálá proměna trhů. Žádná obchodní strategie nefunguje beze změny. Obchodní strategie může časem přestat fungovat a příliš vysoké riziko nastavené na jiné podmínky na trhu může účet velmi rychle vymazat.

Dalším faktorem jsou praktická omezení, která brání Kellyho forumuli skutečně využít. Oč jde: Kellyho rovnice nám říká, kolik procent z kapitálu máme riskovat. V praxi je ale velmi častý požadavek na nějakou minimální investici nebo výšku kapitálu. Minimální investicí je například komise - o poplatek za provedený obchod přicházíme vždy, a pokud je zůstatek na účtu deset dolarů a poplatek za obchod je patnáct dolarů, pokračovat prostě nelze, i když Kellyho rovnice to teoreticky umožňuje. Podobným omezením je minimální výška bodu na trhu. Pokud se trh pohybuje například v krocích po jednom dolaru, nelze riziko snížit například na padesát centů, i když by si to tak Kellyho rovnice představovala. Třetím omezením je výše marginu. V závislosti na trhu může být velikost marginu až několik tisícovek, takže při příliš velkém poklesu kapitálu se můžeme dostat do situace, že na účtu máme pět tisíc, předepsané riziko je deset procent, ale prakticky už nemůžeme obchodovat - zbankrotovali jsme, protože potřebný margin je pět a půl tisícovky.

Posledním omezením, které v této souvislosti zmíním, je samotný obchodník. Obchodní strategie může fungovat velice dobře a k praktickým omezením dané marginem, komisemi či minimálním rizikem se nemusíme ani moc přiblížit - a přesto může být pro obchodníka zcela nemožné pokračovat v obchodování. Představte si situaci, že začnete s vynikající strategií s doporučeným rizikem 30%, s deseti tisíci dolary na účtu a s marginem pět stovek. Po prvním obchodu je účet 7000, v dalším 4900, potom 3500, potom 2500 - pokračovali byste dále?

Historie a odkazy

Kellyho rovnice původně vyvinul John Kelly pro frimu AT&T Bell Laboratory. Kellyho kriterium (Kelly criterion) bylo původně určené pro hodnocení kvality telefonních linek. Brzy po zvěřejnění se Kellyho rovnicí inspirovala hráčská komunita a Kellyho kriterium si osvojila jako optimální sázečský systém. Kellyho kriterium zpopularizoval ve své knize "Beat the dealer" vysokoškolský profesor matematiky Edward O. Thorp, který Kellyho kriterium využíval při hraní v kasinech.

Kellyho rovnice na wikipedii
Edward O. Thorp na wikipedii
John Larry Kelly na wikipedii